Định lí Menelaus

Nội dung

Phát biểu

Cho tam giác \(ABC\), nếu đường thẳng \(d\) cắt ba đường thẳng \(BA, AC, CB\) lần lượt tại \(M, N, P\) thì \[\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CN}{NA} = 1.\]

Hình minh hoạ

M chạy trên đường thẳng AB, P chạy trên đường thẳng BC. Mỗi nấc bằng \(\dfrac{1}{8}\) cạnh nên tỉ số nào cũng ra phân số gọn.

Đọc tỉ số theo vòng

Xuất phát từ một đỉnh, đi vòng quanh tam giác. Mỗi tỉ số lấy đoạn từ đỉnh tới điểm chia làm tử, đoạn từ điểm chia tới đỉnh kế tiếp làm mẫu: \(\dfrac{AM}{MB},\ \dfrac{BP}{PC},\ \dfrac{CN}{NA}\). Trên hình, đoạn ở tử tô nét liền, đoạn ở mẫu tô nét đứt.

Ba điểm nằm trong hay ngoài cạnh

Bước chứng minh

Biến đổi

Kiểm chứng bằng số

Bài toán thường gặp

Cho hình chóp (hoặc tứ diện, hình hộp), một mặt phẳng \((\alpha)\) xác định bởi ba điểm cho trước. Tìm giao điểm \(I\) của một đường thẳng \(\Delta\) với \((\alpha)\) rồi tính tỉ số \(\dfrac{IA}{IB}\) hoặc \(\dfrac{SI}{SC}\), …

Ý tưởng. Mọi tỉ số trên một đường thẳng đều quy về một tam giác nằm trong một mặt phẳng và một cát tuyến là giao tuyến của mặt phẳng đó với \((\alpha)\).

Bốn bước

1. Tìm giao điểm. Đặt \(\Delta\) vào một mặt phẳng phụ \((\beta)\) chứa nó, tìm giao tuyến \(d = (\alpha)\cap(\beta)\); khi đó \(I = \Delta\cap d\). Muốn có \(d\) ta cần hai điểm chung của \((\alpha)\) và \((\beta)\) — thường là một điểm cho sẵn và một điểm tìm thêm bằng cách kéo dài hai đường thẳng đồng phẳng. Xem cách dựng trong công cụ Giao tuyến và giao điểm.
2. Chọn tam giác và cát tuyến. Chọn ba điểm thẳng hàng \(M, P, N\) (thuộc \(d\)) nằm trên ba đường thẳng chứa ba cạnh của một tam giác \(ABC\) cùng nằm trong một mặt phẳng.
3. Viết tích ba tỉ số theo vòng. Xuất phát từ một đỉnh, đi vòng quanh tam giác: \(\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CN}{NA} = 1\). Bấm nút Đi vòng ở trên để xem trên hình.
4. Thay các tỉ số đã biết. Trung điểm cho tỉ số \(1\); trọng tâm \(G\) trên trung tuyến \(AA'\) cho \(\dfrac{AG}{GA'} = 2\); đoạn có tỉ lệ cho trước (\(BP = 2PD,\ SM = \dfrac{1}{3}SD, …\)) đổi sang tỉ số hai đoạn.

Lưu ý

1. Trong ba điểm \(M, P, N\) có 1 hoặc 3 điểm nằm ngoài cạnh của tam giác (không thể là 0 hoặc 2). Nhờ vậy ta biết trước điểm cần tìm nằm trong hay ngoài đoạn thẳng.
2. Tỉ số dùng trong định lí là tỉ số của các độ dài (số dương). Khi đề cho \(IA = k\cdot IB\) thì xét \(I\) nằm trong hay ngoài đoạn \(AB\): nếu \(I\) nằm trong thì \(AB = (k+1)IB\); nếu \(I\) nằm ngoài thì \(AB = (k-1)IB\) khi \(k > 1\), và \(AB = (1-k)IB\) khi \(k < 1\).
3. Khi cát tuyến song song với một cạnh, điểm cắt ở vô cực và tỉ số tương ứng bằng \(1\): định lí Menelaus trở thành định lí Thales.
4. Có thể dùng Menelaus nhiều lần liên tiếp: lần đầu tính một điểm phụ (ví dụ \(K\) trong đáy), lần sau dùng điểm đó làm điểm của cát tuyến.

Hiển thị